Đề thi học sinh giỏi – môn toán 9
Thời gian: 150 phút
Câu I. ( 4 điểm). Giải phương trình
1
2. y2 – 2y + 3
Câu II. (4 điểm)
1. Cho biểu thức :
A =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.
2. Cho a>0; b>0; c>0
Chứng minh bất đẳng thức ( a+b+c
Câu III. (4,5 điểm)
1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và số đó lớn hơn tổng các bình phương các chữ số của nó là 1.
2. Cho phương trình: x2 –(m+1)x+2m-3 =0 (1)
+ Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
+ Tìm giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm bằng 3.
Câu IV (4 điểm)
Cho hình thang cân ABCD, (AB//CD; AB > CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Góc ACD = 600; gọi E; F; M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng IA; ID; BC.
Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp được trong một đường tròn.
Chứng minh tam giác MEF là tam giác đều.
Câu V. (3,5 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có các mặt là tam giác đều. Gọi O là trung điểm của đường cao SH của hình chóp.
Chứng minh rằng
-------------------Hết------------------------

Đáp án Đề thi học sinh giỏi – môn toán 9
Câu 1: 4 điểm
Đưa phương trình về dạng
(0,5 điểm)
áp dụng bất đẳng thức:
(0,5 điểm)
Lập luận được vế trái bằng vế phải VT bé nhất. (0,5 điểm)
Chỉ ra dấu “=” xảy ra 3 – x) (x+50
Lập bảng xét dấu và kết luận -5x3 (0,5 điểm)
Xác định được:
Min VT: y2 – 2y+ 3= (y – 1)2 + 2 2 (0,75 điểm)
Dấu “=” xảy ra khi y =1.
Xác định được:
Max VP: x2 + 2x +4 nhỏ nhất
x + 1)2 + 3 3 (0,75 điểm)
và max VP bằng
Dấu “=” xảy ra khi x= -1.
Kết luận nghiệm của phương tình(0,5 điểm)
Câu II (4 điểm)
Đặt x+2 = y x = y – 2. Thay vào A được
(0,5 điểm)
Đặt ta được A = 3z2- 2z + 1 =
(0,5 điểm)
Dấu “=” xảy ra khi (0,5 điểm)
Thay y = 3 tìm được x=1
Kết luận được min A tại x=1 (0,5 điểm)
áp dụng bất đẳng thức CôSi:
(a + b + c(2 điểm)
Câu III. (4,5 điểm)
Gọi x là chữ số hàng đơn vị thì chữ số hàng chục là x+2
(0,5điểm)

Lập được phương trình: 10 ( x+2) + x = x2 + ( x+2)2 + 1 (0,5 điểm)
Giải phương trình tìm được x1= 5